อินทิเกรตและดิฟเฟอเรนชิเอต คืออะไร integrate, limit

อินทิเกรตและดิฟเฟอเรนชิเอต

เป็นแนวคิดที่เกิดจากแนวคิดพื้นฐานง่ายๆ
แล้วประยุกต์มันด้วยขบวนการอนันต์ครับ

สมมุตินะครับว่าเราต้องการหาพื้นที่ของ
รูปทรงที่มันไม่เป็นเรขาคณิต

คนสมัยโบราณที่เค้ายังไม่มีแคลคูลัสใช้เค้าทำไงครับ
เค้าก็คิดว่าเองั้นเราแบ่งพื้นที่นี้ออกเป็นชิ้นส่วนย่อยๆ
ที่เราสามารคำนวณได้รู้ค่าแน่นอนดีไหมน่ะ

ผลก็คือเมื่อทำการแบ่งพื้นที่ออกมาเป็นสี่เหลี่ยมแล้ว
คำนวณหาพื้นที่สี่เหลี่ยมนั้นๆ แล้วเอาพื้นที่ทั้งหมดมารวมกันเหมือนเดิม ก็จะได้คำตอบ

แต่ว่า...

คำตอบที่ว่านั่นคือค่าประมาณ เค้าก็ทำการคิดแก้ปัญหาต่อไป โดยการแบ่งพื้นที่ให้ละเอียดมากขึ้น เค้าก็ค้นพบว่าค่าที่ได้ จะใกล้เคียงความเป็นจริงมากขึ้น ได้ดั่งนั้นนักฟิสิกส์จึงบอกว่า เอาละ ในทางการฟิสิกส์แล้วเราต้องการความละเอียดระดับหนึ่งเท่านั้น ค่าผิดผลาดที่ได้จากการวัดของวิธีนี้ หาเราแบ่งสี่เหลี่ยมให้เล็กพอ นักฟิสิกส์สามารถยอมรับได้ นักเคมีกล่าวว่าในขบวนการทางเคมีนั้นมีค่าผิดผลาดเป็นเรื่องปกติอยู๋แล้วธรรมดามาก เราแค่ควบคุมให้อยู่ในระดับที่ยอมรับได้ มาถึงคิวนักคณิตศาสตร์นักคณิตศาสตร์คิดหนักเพราะถึงแม้จะแบ่งพื้นที่ให้ละเอียด เป็นพันชิ้น เป็นหมื่นชิ้น มันก็ยังให้ออกมาเป็นเพียงค่าที่ประมาณเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ไม่พอใจเป็นอย่างมาก เนือ่งด้วยโลกของคณิตศาสตร์นั้นไม่ยอมรับว่า

0.0000000000000000000000001 = 0.0000000000000000000000002

นักคณิตศาสตร์ไม่รู้จะทำอย่างไร หันซ้ายหันขวาไปเจอลิมิตเข้า ก็ปิ้งไอเดียทันที นักคณิตศาสตร์จึงกล่าวขึ้นมาว่า ถ้าเราแบ่งพื้นที่ออกเป็นสี่เหลี่ยมเล็กๆ ขนาด x โดยที่ x มีค่าเข้าใกล้ 0 และเมือ่เราทำการคำนวณหาพื้นที่ทั้งหมดมารวมกัน ด้วยกฏของลิมิตที่นิยามไว้ดีแล้ว จะทำให้เราได้ค่าพื้นที่ปิดล้อมนั้น แบบไม่ใช่ค่าประมาณ!


นักคณิตศาสตร์จึงเริ่มเขียนการอินทิเกรตในยุกแรกๆด้วย
ลิมิตของผลรวม ก็คือมีเครื่องหมาย ซิกม่าแล้วก็มีลิมิต ใช้ๆไปใช้มานักคณิตศาสตรืบอกว่ายุ่งยาก คิดใหม่ดีกว่า ให้เป็น S ย่อมาจาก Summation อะเด๊ยวก่อนยืดมันสักหน่อยดีกว่า จะได้รู้ว่าเป็นอินทิเกรต เราจะได้สัญลักษณ์ Lazy S มาใช้กัน

ดิฟเฟอเรนชิดเอตก็เกิดขึ้นจากแนวคิดที่ใกล้เคียงกัน
นักฟิสิกส์รู้ว่าความเร็วคือระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ต่อ 1 ช่วงเวลา ดังนั้นสูตรเด็กๆก็คือ v = s/t

ต่อมานักฟิสิกส์ว่างงานมานั่งคิดว่าเอ๊ะความเร็ซที่เราได้นั้นมันเป็นความเร็วเฉลี่ยนี่น่า เช่น เราเดินทางได้ 10 เมตร ใน 1 วินาที เราก็เอา 10 / 1 = 10 m/s ได้เป็นความเร็ว แต่เราไม่รู้ว่าความเร็วที่จุด 0.1s มีค่าเท่าไร ความเร็วที่จุด 0.0001s มีค่าเท่าไร นักฟิสิกส์คิดไม่ตกจึงไปถามนักคณิตศาสตร์เจ้าเก่า นักคณิตศาสตร์บอกหมูมากลื้อก็ใส่ขบวนการอนันต์เข้าไปสิ นักฟิสิกส์ร้องอ๋อทันที รีบจัดแจงกลับมาเปลี่ยนสูตรตัวเองใหม่ ให้ความเร็วที่จุดใดๆเท่ากับเดลต้าระยะทางที่จุดใดๆหารเดลต้าเวลาที่จุดใดๆ โดยสมมติเดลต้าที่ว่าเป็นตัวแปรแล้วให้มันมีค่าน้อยๆ ยิ่งน้อยยิ่งดี ยิ่งน้อยยิ่งชอบสะใจ! นั่นคือดิฟเฟอเรนชิเอต เป็นที่มาว่าทำไมน้องๆหนูๆต้องมานั่งท่องว่าดิฟ s ได้ v

แต่มันไม่เสมอไปหรอกน่ะจ๊ะมันขึ้นอยู่กับว่าดิฟเทียบอะไร

ขอบคุณลิมิตและขบวนการอนันต์ที่ทำให้หนูๆได้เรียนคณิตศาสตร์แสนสนุก

ปล. ต้องขอโทษคุณความคิดเห็นข้างล่างต้วยครับ ผมมีแนวคิดว่าพยายามจะเขียนเรื่องให้มันไม่น่าเบื่อ จะได้จำได้ง่ายๆ ตัวละครที่ผมกล่าวถึงก็เป็นตัวละครสมมติครับ ผมไม่เคยคิดจะหลบลู่นักวิทยาศาสตรืท่านใด เพราะผมเองก็นับถือท่านมากเช่นกัน วิทยาศาสตร์เป็นศาสนาของผม อีกอย่างนักวิทยาศาสตร์สมัยก่อนผมก็ว่า นักคณิตศาสตร์กับนักฟิสิกส์ ก็คือพวกเดียวกันนั่นเอง

ปล.2 ผมจะแก้ไขข้อความที่ไม่เหมาะออกน่ะครับ แต่จะคงสไตล์เดิมไว้หน่อยนึงเพราะไม่ต้องการให้เป็นวิชาการมากเกินไป

บทความจาก
topicstock.pantip.com/wahkor/topicstock/2006/04/X4282962/X4282962.html